3465

〔算術加數論〕寫成調和平均共多少種？

嗯

好像又是計算題。

論問共有多少方式可以把 3465 寫成兩個自然數的調和平均？請證明。

說明：n 為 a 與 b 的調和平均

是說 2/n = (1/a) (1/b)。

例如

當 n = 15 時

2/15 = (1/15)   (1/15) = (1/8) (1/120) = (1/9) (1/45)= (1/10) (1/30) =  (1/12) (1/20)所以

 共有 5 種方式把 15 寫成兩個自然數的調和平均。

1/a 1/b=2/3465就是2*a*b-3465*a-3465*b=0可化成4*a*b-6930*a-6930*b=0強迫分解得(2*a-3465)(2*b-3465)=3465^2=3^4*5^2*7^2*11^2可知3465^2共有5*3*3*3=135個正因數先扣掉(3465

3465)

還剩134個因為各會重複算到一次((a

b)

(b

a))所以134/2=67再加回(3465

3465)有68個至於負因數....全都不合應該是沒有重覆計算我後來用電腦跑了一下有68個如下1.(3465

3465)2.(3366

3570)3.(3245

3717)4.(3150

3850)5.(3080

3960)6.(3003

4095)7.(2970

4158)8.(2835

4455)9.(2772

4620)10.(2745

4697)11.(2695

4851)12.(2640

5040)13.(2541

5445)14.(2520

5544)15.(2475

5775)16.(2394

6270)17.(2345

6633)18.(2310

6930)19.(2277

7245)20.(2205

8085)21.(2178

8470)22.(2156

8820)23.(2145

9009)24.(2100

9900)25.(2079

10395)26.(2070

10626)27.(2035

11655)28.(2016

12320)29.(2002

12870)30.(1995

13167)31.(1980

13860)32.(1953

15345)33.(1935

16555)34.(1925

17325)35.(1914

18270)36.(1890

20790)37.(1881

21945)38.(1870

23562)39.(1855

26235)40.(1848

27720)41.(1845

28413)42.(1827

33495)43.(1820

36036)44.(1815

38115)45.(1806

42570)46.(1800

46200)47.(1793

51345)48.(1785

58905)49.(1782

62370)50.(1773

75845)51.(1771

79695)52.(1770

81774)53.(1764

97020)54.(1760

110880)55.(1757

124245)56.(1755

135135)57.(1750

173250)58.(1749

183645)59.(1746

224070)60.(1745

241857)61.(1743

287595)62.(1740

401940)63.(1738

547470)64.(1737

668745)65.(1736

859320)66.(1735

1202355)67.(1734

2002770)68.(1733

6004845)
設 ( 2 / 3465 ) = ( 1 / a ) ( 1 / b )

a

b ∈ Ｎ( 1 / 1732.5 ) = ( 1 / a ) ( 1 / b )因( 1 / a ) ＞ 0 和 (1 / b) ＞ 0所以( 1 / 1732.5 ) ＞ ( 1 / a )且( 1 / 1732.5 ) ＞ ( 1 / b )a ＞ 1732.5 且 b ＞ 1732.5　( 2 / 3465 ) = ( 1 / a ) ( 1 / b )→ 2ab = 3465( a b )→ 2ab - 3465b = 3465a　→ 2a - 3465 ≧ 1 ＞ 0→ b = 3465a / ( 2a - 3465)因 a ＞ 1732.5　and　a ∈ Ｎ可設 a = 1733 m

m ≧ 0　and　m ∈ Ｚ只需考慮 a ≦ 3465的部分即可

因不考慮 a、b 順序時

a ＞ 3465的部分便會重覆計算　 a ≦3465→ 1733 m ≦ 3465→ m ≦ 1732→ 2m 1 ≦ 3465 b = 3465a / ( 2a - 3465)　= 3465(1733 m) / ( 2m 1 ) 因b ∈ Ｎ所以　 2m 1｜3465(1733 m)　and　2m 1｜2m 1→ 2m 1｜3465*1733 3465m　and　2m 1｜2m 1→ 2m 1｜(3465*1733 3465m)*2　and　2m 1｜(2m 1)*3465→ 2m 1｜(3465*1733 3465m)*2 - (2m 1)*3465→ 2m 1｜3465*1733*2 - 3465→ 2m 1｜3465*34653465 = 3² × 5 × 7 × 113465² = 3^4 × 5² × 7² × 11²因 1≦ 2m 1 ≦ 3465　and　m ∈ Ｚ如果只求方法數只要求 3465² 小於等於3465的因數個數即可

因3465 = 3² × 5 × 7 × 11把 3465² 的因式分解結果分成左右兩組

剛好都是3465且對稱

所以只須以一邊來討論即可{1×3² × 5 × 7 × 11}

{1×3² × 5 × 7 × 11}現在考慮從左邊取走0~5個數

再從右邊取一些數放至左邊相乘後不會使大小其超過3465

且不會與前面步驟重覆計算的情形下面冒號左邊是從左組取走的數　　冒號右邊是從右組放至左組的數取０個1種＜左邊剛好為3465＞取１個11：1

3

5

7

3²7：1

3

55：1

33：1共11種取２個7×11：1

3

5

3²

3×5

3²×55×11：1

3

7

3²

3×73×11：1

5

75×7：1

3

3²

11

3×113×7：1

5

113×5：1

7

113×3：1

5

7共28種取３個5×7×11：1

3

3²3×7×11：1

53×5×11：1

73×3×11：1

5

7

5×73×5×7：1

113×3×7：1

5

11

5×113×3×5：1

7

11共20種取４個3×5×7×11：13×3×7×11：1

53×3×5×11：1

73×3×5×7：1

11共7種取５個3×3×5×7×11：11種－－－－－－－－－1 11 28 20 7 1=68合計68種方法數不知只有什麼比較快的方法可以計算

只好用這種笨笨的一個一個看
每次修改後過一下又發現自己有錯

真是太粗心了＝□＝

我想星魂算的沒錯了

我也幫他驗算過了

我用我的方法最後也得到相同答案

我有看懂星魂的作法

覺得比我的好多了^^a

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參考:http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1105070106269如有不適當的文章於本部落格，請留言給我，將移除本文。謝謝！